Mathematik-Online-Lexikon: Einige Integrale

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	Einige Integrale

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Berechne folgende Integrale.

(1): $\mbox{$\int_0^\pi \sin x\, {\mbox{d}}x$}$ .
(2): $\mbox{$\int_0^\pi (\sin x)^2\, {\mbox{d}}x$}$ . Kann man von vorneherein sagen, daß das Resultat unter dem aus (1) liegt?
(3): $\mbox{$\int_0^{\pi/4} \tan x\, {\mbox{d}}x$}$ . Zeige, daß $\mbox{$\log 2\geq\pi^2/16$}$ .

Lösung.

(1): Es wird
$\mbox{$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \,{\mbox{d}}x \; =\; [-\cos x]_0^\pi \; =\; -\cos\pi + \cos 0 \; =\; 2\; . $}$
(2): Es wird
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^\pi (\sin x)^2 \,{\mbox{d}}x ... ...c{\sin(2x)}{4}\right]_0^\pi\vspace*{2mm}\\ &=& \frac{\pi}{2}\;. \end{array}$}$
Wegen $\mbox{$\sin x\in [0,1]$}$ ist $\mbox{$(\sin x)^2 \leq \sin x$}$ für $\mbox{$x\in [0,\pi]$}$ . Somit ist a priori klar, daß das Resultat aus (2) unter dem aus (1) zu liegen hat. D.h. $\mbox{$\pi\leq 4$}$ .
(3): Es wird
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_0^{\pi/4}\tan x \,{\mbox{d}}x &=... ...log(\cos(\pi/4))+\log(\cos 0)\vspace*{2mm}\\ &=& (\log 2)/2 \;. \end{array}$}$
Wir vergleichen dieses Integral mit dem Integral $\mbox{$\int_0^{\pi/4}x \,{\mbox{d}}x$}$ . Es gilt $\mbox{$\tan 0=0$}$ und $\mbox{$(\tan x)'=1+(\tan x)^2\geq 1$}$ . Daraus folgt $\mbox{$\tan x\geq x$}$ für $\mbox{$x\in[0,\pi/2)$}$ , und daher
$\mbox{$\displaystyle \log 2 \;=\; 2\int_0^{\pi/4}\tan x \,{\mbox{d}}x \;\geq\; 2 \int_0^{\pi/4}x \,{\mbox{d}}x \;=\; \pi^2/16 \;. $}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 25. 1. 2006