Mathematik-Online-Lexikon: Eine Anwendung des Hauptsatzes

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	Eine Anwendung des Hauptsatzes

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Übersicht

Sei $\mbox{$f(x) := \int_1^{1+x^2} \frac{\sin t}{t}\,{\mbox{d}}t$}$ für $\mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ . Berechne $\mbox{$f'(x)$}$ .

Lösung.

Sei $\mbox{$g(y) := \int_1^{y} \frac{\sin t}{t}\,{\mbox{d}}t$}$ für $\mbox{$y\in\mathbb{R}_{> 0}$}$ . Dann ist $\mbox{$f(x) = g(x^2 + 1)$}$ . Man beachte $\mbox{$g'(y)=(\sin y)/y$}$ . Mit der Kettenregel und dem Hauptsatz folgt

$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & g'(x^2 + 1)\cdot 2x \vspace*{2mm}\\ & = & \frac{\sin(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\cdot 2x \; .\\ \end{array}$}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006