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Mathematik-Online-Lexikon:

Eine Partialbruchzerlegung

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Berechne $ \mbox{$\int\frac{{\mbox{\scriptsize d}}x}{(x^2 + 1)^2(x-1)^3}$}$.

Lösung.

Wir setzen an mit

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2(x-1)... ...,2}}{(x-1)^2}} + {\displaystyle\frac{w_{3,3}}{(x-1)^3}} \; , \\ \end{array}$}$
wozu wir die Nullstellen des Nenners mit $ \mbox{$z_1 = -\mathrm{i}$}$, $ \mbox{$z_2 = +\mathrm{i}$}$ und $ \mbox{$z_3 = 1$}$ bezeichnen.

Mit Zuhaltemethode wird zunächst

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} w_{1,2} & = & {\displaystyle\frac{1... ...style\frac{1}{(1+1)^2}} & = & {\displaystyle\frac{1}{4}}\; . \\ \end{array}$}$
Subtraktion der bekannten Terme reduziert das Problem auf die Behandlung von
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2(x-1)... ...{w_{3,1}}{x-1}} + {\displaystyle\frac{w_{3,2}}{(x-1)^2}}\; . \\ \end{array}$}$
Mit Zuhaltemethode wird nun
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} w_{1,1} & = & {\displaystyle\frac{-4+... ...ace*{2mm}\\ w_{3,2} & = & -{\displaystyle\frac{1}{2}} \; . \\ \end{array}$}$
Subtraktion der bekannten Terme reduziert das Problem auf die Behandlung von
$ \mbox{$\displaystyle {\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2(x-1)^3}} - \left({\disp... ...+ {\displaystyle\frac{w_{3,2}}{(x-1)^2}}\right) \; =\; \frac{1}{2(x-1)}\; , $}$
woraus schließlich $ \mbox{$w_{3,1} = {\displaystyle\frac{1}{2}}$}$ folgt.

Damit können wir das Integral berechnen.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{cl} & \displaystyle\int {\displaystyle\fr... ...yle\frac{1}{2}}\,{\operatorname{Log}}(x-1) + {\mbox{const.}} \\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006