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Mathematik-Online-Lexikon:

Ein uneigentliches Integral

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Untersuche $ \mbox{$\displaystyle\int _0^1 {\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{\sqrt{x(1-x)}}}$}$ auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls.

Lösung.

Mit der Substitution $ \mbox{$\sin u = 2x - 1$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}u}} = {\displaystyle\frac{\cos u}{2}}$}$ erhalten wir

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{h\to 0+}\displaystyle\int _h^{1... ... \pi/2}^{-k + \pi/2} {\mbox{d}}u \vspace*{2mm} \\ & = & \pi\; . \end{array}$}$
Die Konvergenz ergibt sich aus der Rechnung wegen der Grenzwertregeln.

Skizze.

\includegraphics[width = 10cm]{l2.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006