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Mathematik-Online-Lexikon:

Zentrische Differentialgleichung

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Finde die allgemeine Lösung der Gleichung $ \mbox{$xy'=y+\sqrt{x^2+y^2}$}$.

Lösung.

Es handelt sich um eine Gleichung der Form $ \mbox{$y'=f(y/x)$}$ mit $ \mbox{$f(u)=u+\sqrt{1+u^2}$}$. Die Substitution $ \mbox{$u=y/x$}$ führt auf

$ \mbox{$\displaystyle u' \;=\; \frac{f(u)-u}{x} \;=\; {\displaystyle\frac{\sqrt{1+u^2}}{x}} \;, $}$
also auf
$ \mbox{$\displaystyle \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\mbox{d}}u}{\sqrt{1+u^2}}} \;=\; \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{x}} $}$
und schließlich auf
$ \mbox{$\displaystyle {\mbox{arsinh}}\,u \;=\; \log x + c\;, $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$. Daraus ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle u \;=\; \sinh(\log x+c) $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; x\sinh(\log x+c) \;. $}$

Das Richtungsfeld.

\includegraphics[width=10cm]{e1.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006