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Mathematik-Online-Lexikon:

Riccatische Differentialgleichung

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Finde die allgemeine Lösung der Gleichung $ \mbox{$y'={\displaystyle\frac{y^2}{x^3}}-{\displaystyle\frac{y}{x^2}}+1$}$.

(Hinweis: $ \mbox{$y=x$}$ ist eine partikuläre Lösung.)

Lösung.

Es handelt sich um eine Riccatische Gleichung mit Partikulärlösung $ \mbox{$y=x$}$. Die allgemeine Lösung ist also von der Form

$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; x+{\displaystyle\frac{1}{v}} \;, $}$
wobei $ \mbox{$v$}$ sich aus der Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle v' \;=\; -{\displaystyle\frac{1}{x^2}}\,v-{\displaystyle\frac{1}{x^3}} $}$
ergibt. Dies ist eine inhomogene lineare Gleichung.

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung $ \mbox{$v'=-{\displaystyle\frac{1}{x^2}}\,v$}$ ist $ \mbox{$v=c\exp(1/x)$}$. Die inhomogene Gleichung löst man durch Variation der Konstanten, also durch den Ansatz $ \mbox{$v=c(x)\exp(1/x)$}$. Dies führt auf

$ \mbox{$\displaystyle c' \;=\; -{\displaystyle\frac{\exp(-1/x)}{x^3}}\;, $}$
und dann mit der Substitution $ \mbox{$u=-1/x$}$ auf
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c &=& \displaystyle\int \left(-{\disp... ...2mm}\\ &=& e^u(u-1)\vspace*{2mm}\\ &=& -\exp(-1/x)(1+1/x) \;. \end{array}$}$
Eine partikuläre Lösung für $ \mbox{$v$}$ ist also $ \mbox{$v=-1-1/x$}$, und die allgemeine Lösung ist
$ \mbox{$\displaystyle v  \;=\; -1-1/x+C\exp(1/x) $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C\in\mathbb{R}$}$. Die allgemeine Lösung für $ \mbox{$y$}$ ist also
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; x+{\displaystyle\frac{1}{C\exp(1/x)-1-1/x}} \;. $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006