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Mathematik-Online-Lexikon:

Bernoullische Differentialgleichung

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Finde die allgemeine Lösung der Gleichung $ \mbox{$y'={\displaystyle\frac{y}{x}}+{\displaystyle\frac{1}{y^2}}$}$.

Lösung.

Dies ist eine Bernoullische Gleichung mit Exponent $ \mbox{$\alpha=-2$}$.

Die Substitution $ \mbox{$u=y^{1-\alpha}=y^3$}$ führt zur linearen Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle u' \;=\; {\displaystyle\frac{3}{x}}\,u+3 \;. $}$
Die homogene Gleichung $ \mbox{$u'={\displaystyle\frac{3}{x}}\,u$}$ hat die allgemeine Lösung $ \mbox{$u=cx^3$}$. Die inhomogene Gleichung wird durch Variation der Konstanten gelöst. Der Ansatz $ \mbox{$u=c(x)x^3$}$ führt zu
$ \mbox{$\displaystyle c' \;=\; {\displaystyle\frac{3}{x^3}} $}$
und somit zu
$ \mbox{$\displaystyle c \;=\; -{\displaystyle\frac{3}{2x^2}} \;. $}$
Die allgemeine Lösung für $ \mbox{$u$}$ ist also
$ \mbox{$\displaystyle u \;=\; Cx^3-{\displaystyle\frac{3}{2}}\,x \; $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C\in\mathbb{R}$}$, und für $ \mbox{$y$}$ ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; \left(Cx^3-{\displaystyle\frac{3}{2}}\,x\right)^{1/3} \;. $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006