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Mathematik-Online-Lexikon:

Laguerre-Differentialgleichung


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Finde eine Potenzreihe um $ \mbox{$x_0=0$}$, welche der Laguerre-Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle
xy''+(1-x)y'+my \;=\; 0
$}$
und der Anfangsbedinung $ \mbox{$y(0)=y_0$}$ genügt, wobei $ \mbox{$m,y_0\in\mathbb{R}$}$.

Lösung.

Mit dem Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle
y(x) \;=\; \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
$}$
ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
y'(x) &=& \displaystly\sum_{n=0}^{\in...
...=& \displaystly\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)a_{n+1} x^{n-1}\; , \\
\end{array}$}$
und daher
$ \mbox{$\displaystyle
0 \;=\; xy''+(1-x)y'+my \;=\; a_1+ma_0+\sum_{n=1}^\infty\left((n+1)^2a_{n+1}+(m-n)a_n\right)x^n \;.
$}$

Dies liefert durch Koeffizientenvergleich

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
0 &=& a_1+ma_0\\
0 &=& (n+1)^2a_{n+1}+(m-n)a_n
\end{array}$}$
für alle $ \mbox{$n\geq 1$}$. Daraus kann man rekursiv berechnen
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
a_1 &=& -ma_0 \vspace*{2mm}\\
a_2 &...
... -{\displaystyle{m\choose 3}}{\displaystyle\frac{a_0}{6}}\; ,\\
\end{array}$}$
usf. Allgemein ergibt sich als Lösung dieser Rekursion
$ \mbox{$\displaystyle
a_n \;=\; (-1)^n{m\choose n}\frac{a_0}{n!} \;,
$}$
und die gesuchte Potenzreihe lautet wegen $ \mbox{$a_0=y(0)=y_0$}$
$ \mbox{$\displaystyle
y(x) \;=\; y_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{m\choose n}\frac{x^n}{n!}\; .
$}$
Diese Potenzreihe konvergiert für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006