Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Satz von Plancherel

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Beispiel: Satz von Plancherel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Für das Integral

$\displaystyle I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int\limits_0^\infty\frac{\cos(y)\sin(y/2)}{4y+9y^3}\,dy = \int\l... ...4y\left(1+\left(\frac{3}{2}\,y\right)^2\right)}}_{\textrm{gerade Funktion}}\,dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 4}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{2}{1+\left(\frac{3}{2}y\right)^2} \frac{e^{\mathrm{i}y}\sin{(y/2)}}{(y/2)} \,dy$

ergibt sich mit

$\displaystyle \hat{f}(y)$	$\displaystyle =\frac{2}{1+y^2},\quad f(x)=e^{-\vert x\vert}$
$\displaystyle \hat{g}(y)$	$\displaystyle =\operatorname{sinc}(y/2),\quad g(x)= \begin{cases}1, & \vert x\vert\le 1/2\\ 0, & \vert x\vert>1/2 \end{cases}$

der Skalierungsformel und dem Satz von Plancherel

$\displaystyle I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{32} \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}\left(\frac{3}{2}y\right)\,\overline{e^{-\mathrm{i}y}\hat{g}(y)}\,dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2\pi}{32}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{2}{3}f\left(\frac{2}{3}x\right) \,\overline{g(x - 1)}\,dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\pi}{24}\int\limits_{1/2}^{3/2}e^{-\frac{2}{3}\vert x\vert}... ...t]_{1/2}^{3/2} =\frac{\pi}{16}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{e}}-\frac{1}{e}\right)\,.$

automatisch erstellt am 13. 11. 2013