Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Cauchy-Kriterium

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	Cauchy-Kriterium

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Eine Folge

konvergiert genau dann, wenn für alle $\varepsilon > 0$ ein $n_{\varepsilon}$ existiert, so dass

$\displaystyle \vert a_j - a_k \vert < \varepsilon$

für alle $j,k > n_\varepsilon$ .

Mit Hilfe dieses auf Cauchy zurückgehende Kriteriums ist der Nachweis der Konvergenz ohne Kenntnis des Grenzwertes möglich.

Die Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums folgt aus der Definition des Grenzwerts:

$\displaystyle a=\lim a_n \ \Longleftrightarrow \ \vert a_m - a \vert < \varepsilon$ für $\displaystyle m > m_\varepsilon$

Setzt man $n_\varepsilon=m_{\varepsilon /2}$ , so gilt

$\displaystyle \vert a_j - a_k \vert \leq \vert a_j - a \vert + \vert a - a_k \vert < \varepsilon /2 + \varepsilon /2 = \varepsilon$

für $j, k > n_\varepsilon$ , wie behauptet.

Dass die Bedingung auch hinreichend ist, ist schwieriger zu zeigen, und beruht auf der Vollständigkeit der reellen Zahlen.

(Autoren: App/Höllig )

automatisch erstellt am 8. 4. 2008