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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Regeln für Mengenoperationen


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Für Mengenoperationen gelten die folgenden Identitäten.

Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn man die Operatoren $ \cup,\cap$ durch $ \land,\lor$ ersetzt und $ C\backslash$ durch $ \lnot$.


Exemplarisch wird die erste De Morgansche Regel bewiesen. Es gilt

$\displaystyle x\in C\backslash ( A\cap B)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x\in C\,\land x\notin (A\cap B)$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x\in C\,\land (x\notin A \lor x\notin B)
\,.$  

Nach den Distributivgesetzen ist der letzte Ausdruck äquivalent zu

$\displaystyle (x\in C\land x\notin A) \lor (x\in C \land x\notin B)
\Leftrightarrow
x \in (C\backslash A \cup C\backslash B)
\,,
$

womit die behauptete Identität gezeigt ist.
(Autor: K. Höllig)

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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007