Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Quotientenkriterium

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	Quotientenkriterium

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Ist $a_n \neq 0$ für

und existiert eine Zahl $q \in (0,1)$ mit

$\displaystyle \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\leq q\,,\quad n>n_0\,,$

so ist $\sum{a_n}$ absolut konvergent. Ist hingegen

$\displaystyle \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\geq 1\,,\quad n>n_0\,,$

so ist $\sum{a_n}$ divergent.

Das hinreichende Kriterium für Konvergenz lässt sich auch in der äquivalenten Form

$\displaystyle \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert < 1$

schreiben.

Man beachte, dass die hinreichende Konvergenz-Bedingung restriktiver als die Ungleichung

$\displaystyle \vert a_{n+1} \vert < \vert a_n \vert\,,\quad n>n_0\,,$

ist, aufgrund derer keine Aussage möglich ist.

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013