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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Legendre-Polynome

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Die Legendre-Polynome

$\displaystyle p_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} x^n + O(x^{n-1}) $

sind bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_{-1}^1 fg $

orthogonal. Sie sind Lösungen der Differentialgleichung

$\displaystyle ((1-\xi^2)p_n^\prime)^\prime = -n(n+1)p_n $

mit $ \xi(x) = x$ und erfüllen die dreigliedrige Rekursion

$\displaystyle (n+1) p_{n+1} = (2n+1)\xi p_n - n p_{n-1} \,. $

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_Legendre_Polynome.eps}

Die ersten $ 6$ Legendre-Polynome werden in der Abbildung gezeigt. Man erkennt, dass die Polynome bzgl. $ x=0$ symmetrisch sind und dass $ p_n(1)=1$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013