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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Multivariates Newton-Verfahren

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Ein Iterationsschritt $ x \rightarrow y$ der Newton-Iteration zur Bestimmung einer Nullstelle $ x_*$ eines nichtlinearen Gleichungssystems

$\displaystyle f_k(x_1,\ldots,x_n) =0,\quad k=1,\ldots,n \,, $

hat die Form

$\displaystyle \Delta$ $\displaystyle = -f^\prime (x)^{-1} f(x)$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = x+ \Delta \,.$    

Dabei wird die Jacobi-Matrix $ f^\prime (x)$ nicht invertiert, sondern das entsprechende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung des Inkrements $ \Delta$ gelöst.

Ist $ \operatorname{det} f^\prime(x_*) \neq 0$, so konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h.

$\displaystyle \left\Vert y-x_* \right\Vert \leq c\left\Vert x-x_*\right\Vert^2 $

für $ x\approx x_*$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013