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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Kantorovich Kriterium


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Das Kantorovich-Kriterium gibt eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz des Newton-Verfahrens für ein System nichtlinearer Gleichungen

$\displaystyle f_k(x_1,\ldots,x_n) = 0,\quad k=1,\ldots,n
\,.
$

Ist für einen Startvektor $ y$ die Norm $ \Vert f^\prime(y)^{-1}f(y)\Vert\le r/2$ und gilt für die Jacobi-Matrix $ f^\prime$

$\displaystyle \Vert f^\prime(y)^{-1}(f^\prime(x)-f^\prime(\tilde x))\Vert
\le \frac{1}{r} \Vert x-\tilde x\Vert
$

für alle $ x,\tilde x$ in der offenen Kugel $ B_r(y)$, dann konvergiert die Newton-Iteration gegen eine Lösung $ x_*$ des Systems in $ \bar B_r(y)$.


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013