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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Konvexe Funktion

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Eine Funktion ist (strikt) konvex auf einem Intervall D, wenn jede Sekante (echt) oberhalb des Graphen liegt, d.h.

$\displaystyle f((1-t)\,x_1+tx_2) \stackrel{(<)}{\leq} (1-t)\,f(x_1)+t\,f(x_2)\,,\quad t \in (0,1) $

für alle $ x_i \in D$ .

\includegraphics[width=.7\linewidth]{konvexe_funktion}

Ist $ f$ zweimal stückweise stetig differenzierbar, so ist (strikte) Konvexität äquivalent zu

$\displaystyle f''(x) \stackrel{(>)}{\geq} 0 $

für alle $ x \in D$ bis auf isolierte Punkte.

Die Summe konvexer Funktionen ist konvex. Die Operationen $ -,\cdot,/$ sowie die Hintereinanderschaltung $ \circ$ erhalten die Konvexität im allgemeinen nicht. Schließlich ist jede konvexe Funktion stetig.

Analog definiert man konkav. Für eine konkave Funktion liegen die Sekanten unterhalb des Graphen, d.h. die an der $ x$ -Achse gespiegelte Funktion $ -f$ ist konvex.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013