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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Verzinsung

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Ein Startkapital $ x$ ergibt nach $ n$ -facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate $ r$ ($ r<0$ bzw. $ r>0$ ) bei einem Zinsfaktor $ (1+p)$ das Endkapital

$\displaystyle y = (1+p)^nx + \frac{(1+p)^n - 1}{p} r\, . $

Dabei entspricht $ p=1$ einem Zinssatz von $ 100\%$ bei jährlichen Raten.

Der effektive Jahreszins $ p_j$ berechnet sich bei monatlicher Verzinsung mit einem Zinsatz $ p_m$ zu

$\displaystyle p_j=(1+p_m)^{12}-1 \geq 12p_m\,. $

Das Grundkapital wird bereits in der ersten Verzinsungsperiode berücksichtigt, die Ein- bzw. Auszahlungen erst ab der jeweils folgenden. Dies ergibt für

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} n=1: & y = x(1+p) + r, \\ n=2: & y = \big(x(1+p) + r\big)(1+p) + r. \end{array}\end{displaymath}

Allgemein gilt

$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \big(\cdots\big(x(1+p)+r\big)(1+p)+r\big)\cdots\big)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x(1+p)^n+\Big[1+(1+p)+(1+p)^2+\cdots+(1+p)^{n-1}\Big] r$  

Der Ausdruck in eckigen Klammern läßt sich mit der geometrischen Summenformel umwandeln und man erhält die angegebene Formel.
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008