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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Orthogonalbasis im Raum

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Eine Orthogonalbasis besteht aus drei paarweise orthogonalen Vektoren $ \vec{u}$, $ \vec{v}$, $ \vec{w}$, jeweils ungleich $ \vec{0}$.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a_on_basis}

Wie in der Abbildung illustriert ist, lässt sich jeder Vektor $ \vec{a}$ als Linearkombination

$\displaystyle \vec{a} = \frac{(\vec{a}\cdot\vec{u})}{\left\vert \vec{u} \right... ...vec{v} + \frac{(\vec{a}\cdot\vec{w})}{\left\vert \vec{w} \right\vert^2}\vec{w} $

darstellen. Die Summanden sind die Projektionen $ \vec{a}_u$, $ \vec{a}_v$, $ \vec{a}_w$, auf die durch die Basisvektoren erzeugten Achsen, und für die Koeffizienten gilt

$\displaystyle \frac{\left\vert\vec{a}\cdot\vec{u}\right\vert^2}{\left\vert \vec... ...t\vert^2}{\left\vert \vec{w} \right\vert^2} = \left\vert\vec{a}\right\vert^2. $

Sind die Vektoren $ \vec{u}$, $ \vec{v}$, $ \vec{w}$ normiert ( $ \vert\vec{u}\vert=\vert\vec{v}\vert=\vert\vec{w}\vert=1$), so spricht man von einer Orthonormalbasis. Speziell ist

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) = a_1 \vec{e}_x + a_2 \vec{e}_y + a_3 \vec{e}_z $

für die kanonische Orthonormalbasis

$\displaystyle \vec{e}_x = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\qu... ...ay}\right),\quad \vec{e}_z = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right) $

des kartesisches Koordinatensystems.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013