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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Lineare Unabhängigkeit

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Vektoren $ v_1,\dots,v_m$ heißen linear abhängig, wenn es Skalare $ \alpha_1,\dots,\alpha_m$ gibt mit

$\displaystyle \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_m v_m = 0 $

und mindestens einem $ \alpha_i \neq 0$. Andernfalls heißen sie linear unabhängig.

Allgemeiner bezeichnet man eine Menge $ M$ von Vektoren als linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von $ M$ aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Andernfalls heißt $ M$ linear abhängig.

Man beachte, dass im Sinne der linearen Algebra zwar unendliche Mengen $ M$ zugelassen sind, aber nur endliche Linearkombinationen. So ist z. B. im Vektorraum der Folgen die Menge

$\displaystyle e=(1,1,\ldots)^{\operatorname t},\, e_1=(1,0,0,\ldots)^{\operatorname t},\, e_2=(0,1,0,\ldots)^{\operatorname t},\, \ldots $

linear unabhängig, obwohl

$\displaystyle e = \sum_{n\in\mathbb{N}}e_n\, . $

Es gibt keine endliche Darstellung der konstanten Folge $ e$ mit den kanonischen Einheitsvektoren.

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006