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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu | ||
Dimension |
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Besitzt ein Vektorraum eine endliche Basis , so ist die Anzahl der Basisvektoren eindeutig bestimmt und wird als Dimension von bezeichnet:
Man setzt für und für einen Vektorraum ohne endliche Basis.
Nach dem allgemeinen Basissatz besitzt jeder Vektorraum eine Basis.
Hat ein Vektorraum eine -elementige Basis
Würden nämlich zwei Basen mit unterschiedlich vielen Vektoren existieren, erhält man einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren.
Die obige Behauptung kann durch Induktion nach bewiesen werden.
Für den Induktionsschritt (der Induktionsanfang ist trivial) betrachtet man die Basisdarstellung der Vektoren :
automatisch erstellt am 25. 1. 2006 |