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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix


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Eine reelle Funktion $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ist in einem Punkt $ x$ differenzierbar, wenn

$\displaystyle f(x+h) = f(x)+f^\prime(x)h + o(\vert h\vert)
$

für $ \vert h\vert\to0$. Die totale Ableitung $ f^{\prime}$ ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen:

\begin{displaymath}
f^\prime=\operatorname{J}f=
\frac{\partial(f_1,\ldots,f_n)...
...tial_1 f_m & \dots & \partial_n f_m
\end{array}
\right) \,.
\end{displaymath}

Für eine skalare Funktion ($ m=1$) bezeichnet man die Ableitung als Gradient,

$\displaystyle f^\prime = \left(\operatorname{grad}\,f\right)^{\operatorname t}\,,$

und für die Parametrisierung einer Kurve ($ n=1$) als Tangentenvektor.

Um die lineare Approximation kleiner Änderungen ($ \vert h\vert\to0$) hervorzuheben, schreibt man

$\displaystyle df =
\frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 +
\cdots +
\frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n\,
$

mit sogenannten Differentialen $ df$ und $ dx_i$.

Hinreichend für die Existenz der totalen Ableitung $ f^\prime(x)$ ist die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in einer Umgebung von $ x$.


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013