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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Multivariate Taylor-Approximation

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Eine in einer Umgebung eines Punktes $ (a_1, \dots, a_m) (n+1)$-mal stetig differenzierbare skalare Funktion $ f$ von $ m$ Veränderlichen $ x_i$ kann durch ein Taylor-Polynom vom totalen Grad $ n$ approximiert werden:

$\displaystyle f(x) = \sum_{\vert\alpha\vert\le n} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(a) (x-a)^\alpha + R\,,\quad \vert x-a\vert < r\,, $

mit $ \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_m!$.

Das Restglied hat die Form

$\displaystyle R = \sum_{\vert\alpha\vert=n+1} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(u) (x-a)^\alpha \, , \quad u = a+\theta (x-a) \,, $

für ein $ \theta \in[0,1]$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013