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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Multivariate Umkehrfunktion

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Sei $ f:\, \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ eine in einer Umgebung eines Punktes $ x_*$ stetig differenzierbare Funktion mit invertierbarer Jacobi-Matrix $ f^\prime(x_*)$. Dann ist f auf einer Umgebung $ U$ von $ x_*$ bijektiv, d.h. es existiert eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion $ g = f^{-1}$ mit

$\displaystyle y=f(x)\Leftrightarrow x=g(y)\,, \quad x\in U\,. $

Darüber hinaus gilt für die Jacobi-Matrizen

$\displaystyle g^\prime(y) = f^\prime(x)^{-1} $

für alle $ x \in U$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013