Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Gauß-Elimination

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	Gauß-Elimination

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Übersicht

Durch Gauß-Transformationen lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer $(n\times n)$ -Koeffizientenmatrix

in maximal

Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalen annulliert, d.h. nach $\ell-1$ Schritten hat das lineare Gleichungssystem die Form

$\begin{displaymath}\begin{array}{rrrrrrrrrrcccrrcl} a_{1,1}&x_1&+&a_{1,2}&x_2&+&... ...&&&a_{n,\ell}&x_{\ell}&+&\hdots&+&a_{n,n}&x_n&=&b_n \end{array}\end{displaymath}$

Im einzelnen verläuft der $\ell$ -te Eliminationsschritt wie folgt.

Ist das $\ell$ -te Diagonalelement, das so genannte Pivot-Element, Null, so wird die $\ell$ -te mit einer der folgenden Gleichungen vertauscht, so dass $a_{\ell,\ell}\ne0$ gilt.
Für $i>\ell$ wird von der -ten Gleichung ein Vielfaches der $\ell$ -ten Gleichung subtrahiert, so daß $a_{i,\ell}$ Null wird:

$\displaystyle a_{i,j}\leftarrow a_{i,j} - q_i a_{\ell,j},\quad b_i\leftarrow b_i - q_i b_\ell\quad (q_i = a_{i,\ell}/a_{\ell,\ell})\,$
für $j\ge\ell$ .

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013