Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Konvergenz eines linearen Iterationsverfahrens

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	Konvergenz eines linearen Iterationsverfahrens

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Übersicht

Für den Fehler $\Delta x_\ell = x_\ell-x_\ast$ der $\ell$ -ten Näherung eines linearen Iterationsverfahrens mit der Rekursion $x_{\ell+1} = Qx_\ell+p$ und dem Fixpunkt $x_\ast$ gilt

$\displaystyle \Delta x_\ell = Q\Delta x_{\ell-1} = \ldots = Q^\ell \Delta x_0$

Die Iteration konvergiert genau dann für jeden Startwert gegen den Fixpunkt $x_\ast$ , wenn der Spektralradius $\varrho$ der Iterationsmatrix ,

$\displaystyle \varrho(Q) = \max \left\{\vert\lambda\vert: Qv = \lambda v, v\neq 0\right\},$

kleiner als ist.

Der Spektralradius ist ebenfalls ein Maß für die Konvergenzrate, das heißt für die im Mittel zu erwartende Fehlerreduktion pro Iterationsschritt. Je kleiner $\varrho(Q)$ ist, desto schneller konvergiert das Verfahren.

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013