Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Multivariate Polynome

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	Multivariate Polynome

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Übersicht

Ein Polynom

Variablen $x_1,\ldots,x_n$ ist eine Linearkombination von Monomen:

$\displaystyle p(x) = \sum_\alpha a_\alpha x^\alpha,\quad x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \ ,$

mit $\alpha_i\in\mathbb{N}_0$ . Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen

totalem Grad $\le m$ : $\sum \alpha = \alpha_1+\cdots+\alpha_n\le m$ ;
maximalem Grad $\le m$ : $\max \alpha = \max_i \alpha_i\le m$ .

Man bezeichnet ein Polynom als homogen vom Grad , wenn die Linearkombination nur Monome mit $\sum\alpha=k$ enthält. Die Anzahl solcher homogenen Monome ist $\binom{k+n-1}{n-1}$ Folglich ist die Dimension der Polynome vom totalen Grad $\leq k$ gleich

$\displaystyle \binom{k+n}{n}= \sum_{k=0}^m\binom{k+n-1}{n-1} \,.$

Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad $\leq m$ ist .

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013