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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Koordinatentransformation

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Sei $ x$ Koordinatenvektor des Punktes $ X\in{\mathbb{R}}^n$ bzgl. des Standardkoordinatensystems $ \{0,e_1,\dots,e_n\}$ mit $ e_i=(0,\dots,0,\underbrace{1}_{\mbox{$i$-te Stelle}},0,\dots,0)$. Sei $ x'$ der Koordinatenvektor von $ X$ bzgl. eines Koordinatensystems $ K=\{P,b_1,\dots,b_n\}$. $ p$ sei der Ortsvektor von $ P$ und $ B$ sei die Matrix, die sich spaltenweise aus den Vektoren $ b_1,\dots,b_n$ zusammensetzt, d.h. $ B=(b_1,\dots,b_n)$. Dann gilt für die Kooordinatentransformationen $ x \mapsto x'$ bzw. $ x' \mapsto x$:
$\displaystyle x'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B^{-1}(x - p)$  
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle Bx' + p$  

Der Vektor $ v$ besitzt bezüglich der Basen $ E$ und $ E'$ die Darstellungen

$\displaystyle \sum_k \lambda_k e_k = v = \sum_k \lambda_k' e_k' \; . $

Mit Hilfe der Darstellung der $ e_k'$ bezüglich der Basis $ E$ folgt
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_k \lambda_k' e_k' = \sum_k \lambda_k' \left(\sum_j a_{j,k} e_j \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_j \left(\sum_k a_{j,k} \lambda_k' \right) e_j = \sum_j \lambda_j e_j \; .$  

Durch Koordinatenvergleich erhält man $ v_E=Av_{E'}$.
(Autor: Wipper)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006