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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Extrema multivariater Funktionen

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Ist $ f(x_*)$ ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion $ f$ auf einer Umgebung von $ x_*$ , so gilt

$\displaystyle \operatorname{grad}\,f(x_*) = 0\, . $

Eine hinreichende Bedingung ist, dass zusätzlich alle Eigenwerte der Hesse-Matrix im kritischen Punkt $ x_*$ positiv (negativ) sind.

Gibt es Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen, so handelt es sich um einen Sattelpunkt, also kein lokales Extremum. Ist mindestens ein Eigenwert Null bei gleichen Vorzeichen der von Null verschiedenen Eigenwerte, so kann der Typ des kritischen Punktes $ x_*$ anhand der zweiten Ableitungen nicht klassifiziert werden.

Lokale Minima (Maxima) können auch an Randpunkten des Definitionsbereichs $ D$ auftreten. In diesen Fall muss die Richtungsableitung $ \partial_v f(x_*)$ für jede ins Innere von $ D$ zeigende Richtung $ v$ positiv (negativ) sein.

Eine globale Extremstelle einer skalaren Funktion $ f$ auf einer Menge $ D$ ist entweder ein kritischer Punkt (d. h.  $ \operatorname{grad}f = 0$ ), ein Randpunkt, oder eine Unstetigkeitsstelle einer partiellen Ableitung. Die globalen Minima und Maxima lassen sich also durch Vergleich der Funktionswerte an diesen Punkten ermitteln.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{MO_global_Extremum_multivariat} \includegraphics[width=0.45\linewidth]{MO_global_Extremum_multivariat1}

Die Abbildung illustriert die verschiedenen Moglichkeiten. Dabei sind lokale Extrema durch Kreise und globale Extrema durch Punkte gekennzeichnet.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013