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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Lagrange-Multiplikatoren

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Ist $ x_*$ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion $ f$ unter den Nebenbedingungen $ g_i(x)=0$, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_i$, so dass

$\displaystyle f^\prime(x_*) = \lambda^{\operatorname t}g^\prime(x_*) \, . $

Dabei wird vorausgesetzt, dass $ f$ und $ g$ in einer Umgebung von $ x_*$ stetig differenzierbar sind und dass die Jacobi-Matrix $ g^\prime(x_*)$ vollen Rang hat.

Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache Form

$\displaystyle \operatorname{grad} f(x_*) \; \parallel \; \operatorname{grad} g(x_*) \,, $

falls $ \operatorname{grad} g(x_*)\neq 0$, d.h. die Niveauflächen von $ f$ und $ g$ berühren sich an einer Extremstelle.

Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen.

Die globalen Extrema erhält man durch den Vergleich der Funktionswerte an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfüllen, sowie gegebenenfalls denen auf dem Rand der zulässigen Menge oder einem Rangverlust von $ g^\prime$.

Sei $ n$ die Anzahl der Variablen und $ m$ die der Nebenbedingungen.

Für $ m\ge n$ ist nichts zu zeigen, denn ein beliebiger $ n$-Vektor ist als Linearkombination von $ n$ linear unabhängigen Zeilen von $ g^\prime$ darstellbar.

Für $ m<n$ sei $ x=(u,v)\in\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{n-m}$ eine Partition der Variablen, wobei nach eventueller Permutation die Invertierbarkeit von $ g_u(u_\star,v_\star)$ vorausgesetzt wird. Dann sind nach dem Satz über implizite Funktionen die Nebenbedingungen lokal auflösbar:

$\displaystyle g(u,v)=0 \Leftrightarrow u=\varphi(v),\quad v\approx v_\star\, . $

Folglich verschwindet an einem Extremum der Gradient der Funktion $ v \mapsto f(\varphi(v),v)$:

$\displaystyle f_u(u_\star,v_\star)\varphi^\prime(v_\star) + f_v(u_\star,v_\star) = 0\,.$    

Durch Differenzieren der Nebenbedingung $ g(\varphi(v),v)=0$ folgt weiter

$\displaystyle \quad \varphi^\prime(v) = -g_u(u,v)^{-1} g_v(u,v)\,.$    

Nach Einsetzen von $ \varphi^\prime$ in den Gradienten ist ersichtlich, dass mit

$\displaystyle \lambda = f_u(u_\star,v_\star) g_u(u_\star,v_\star)^{-1} $

die Gleichungen

$\displaystyle f_u = \lambda g_u,\quad f_v = \lambda g_v \,, $

die den $ u$- und $ v$-Komponenten der Bedingung $ f^\prime=\lambda g^\prime$ entsprechen, im Punkt $ (u_\star,v_\star)$ erfüllt sind.

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  automatisch erstellt am 26.  1. 2017