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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Gradient eines Skalarfeldes

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Der Gradient eines Skalarfeldes $ U(x,y,z)$ wird durch

$\displaystyle \operatorname{grad}U = \left(\begin{array}{c} \partial_x U\\ \partial_y U\\ \partial_z U \end{array}\right) $

definiert. Er ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und gibt die Richtung des stärksten Anstiegs des Skalarfeldes an.

Alternativ lässt sich der Gradient als Grenzwert von Integralen über die Oberfläche $ {S}$ eines den Punkt $ x$ enthaltenden räumlichen Bereichs $ {V}$ definieren:

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{V}\to0} \frac{1}{\operatorname{vol}{V}}\, \iint\limits_{S} U d\vec{S} \,, $

wobei $ d\vec{S}$ nach außen orientiert ist. Dies folgt aus einer Variante des Integralsatzes von Gauß und zeigt insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen Koordinatentransformationen.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013