Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Für räumliche Vektorfelder $ \vec{F}$, $ \vec{G}$ und räumliche Skalarfelder $ U$, $ V$ gelten folgende Rechenregeln.

Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt

wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.

$\displaystyle \Delta \vec{F} = \Delta F_x\vec{e}_x+ \Delta F_y\vec{e}_y + \Delta F_z\vec{e}_z \,. $

Bei der Differentiation von Produkten gilt


Analoge Identitäten gelten auch für ebene Felder. Formal erhält man die entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null setzt und nur von $ x$ und $ y$ abhängige Funktionen betrachtet.

(i)
$ \operatorname{rot}(\operatorname{grad}U) = \vec{0}$:

Betrachtet man die $ x$-Komponente ergibt sich

$\displaystyle \partial_y(\operatorname{grad} U)_z - \partial_z(\operatorname{grad} U)_x = \partial_y\partial_z U - \partial_z\partial_y U = 0 \,. $

Analog verschwinden auch die $ y$- und die $ z$-Komponente.

(ii)
$ \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}) = 0$:

Verwendet man die Definition der Rotation mit Hilfe des $ \varepsilon$-Tensors

$\displaystyle \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}) = \sum_i \partial_... ...,k} \partial_j F_k = \sum_{i,j,k}\varepsilon_{i,j,k}\partial_i\partial_j F_k $

ergibt eine Vertauschung der Indizes $ i,j$

$\displaystyle \sum_{i,j,k}\ldots = \sum_{i,j,k}\varepsilon_{j,i,k} \partial_i\partial_j F_k = -\sum_{i,j,k}\ldots \,, $

also $ =0$.

(iii)
$ \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{F}) -\Delta \vec{F}$:

die $ x$-Komponente der linken Seite ist

$\displaystyle \partial_y(\operatorname{rot}\vec{F})_z - \partial_z(\operatorna... ...y\partial_y F_x) - (\partial_z\partial_z F_x - \partial_z\partial_x F_z) \,. $

Durch addieren und subtrahieren des Terms $ \partial_x\partial_x F_x$ erhält man die erste Komponente der rechten Seite:

$\displaystyle \partial_x (\operatorname{div}\vec{F}) -\Delta {F_x}\,. $

Analog verfährt man mit der zweiten und dritten Komponente.

(iv)
$ \operatorname{grad}(UV) = U\operatorname{grad}V+V\operatorname{grad}U$

Folgt aus der Anwendung der Produktregel auf die einzelnen Komponenten

$\displaystyle \partial_k (UV)) = (\partial_k U)V + U(\partial_k V)\,. $

(v)
$ \operatorname{div}(U\vec{F}) = U\operatorname{div}\vec{F} + \vec{F}\cdot\operatorname{grad}U$:

Anwendung der Pruduktregel liefert

$\displaystyle \operatorname{div}(U\vec{F})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \partial_x(UF_x)+\partial_y(UF_y)+\partial_z(UF_z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle U\partial_xF_x+U\partial_yF_y+U\partial_zF_z+ F_x\partial_x U+F_y\partial_yU+F_z\partial_zU$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle U\operatorname{div}\vec{F} + \vec{F}\cdot\operatorname{grad}U\,.$  

(vi)
$ \operatorname{div}(\vec{F}\times \vec{G}) = \vec{G} \cdot \operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\vec{G}$:

Mit der Definition des Kreuzproduktes und der Produktregel folgt

$\displaystyle \operatorname{div}(\vec{F}\times \vec{G}) = \sum_{i,j} \varepsilon_{i,j,k}\,\left( (\partial_i F_j)G_k + [F_j(\partial_i G_k)] \right)\,. $

Die Vertauschung von $ i,k$ im zweiten Term $ [\ldots]$ und die Zyklizität von $ \varepsilon$ ergibt die Formel.

(vii)
$ \operatorname{rot}(U\vec{F}) = U\operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\times\operatorname{grad}U$:

Die $ x$-Komponente von $ \operatorname{rot}(U\vec{F})$,

$\displaystyle \partial_y(UF_z)-\partial_z(UF_y) = (\partial_yU)F_z-(\partial_zU)F_y+ U\partial_yF_z-U\partial_zF_y \,, $

entspricht der $ x$-Komponente von

$\displaystyle U\operatorname{rot} \vec{F} + (\operatorname{grad}U)\times \vec{F}\,. $

Mit Hilfe von zyklischer Vertauschung erhält man die Formel.

[Zurück]
  automatisch erstellt am 30.  9. 2013