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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten


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Für Zylinderkoordinaten

$\displaystyle x=\varrho\cos \varphi,\quad
y=\varrho\sin \varphi,\quad
z=z
$

gelten für räumliche Skalarfelder

$\displaystyle U(x,y,z)=\Phi(\varrho,\varphi,z)
$

und Vektorfelder

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=
F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z =
\Psi_\va...
...Psi_\varphi \vec{e}_\varphi + \Psi_z \vec{e}_z
= \vec{\Psi}(\varrho,\varphi,z)
$

die Transformationsregeln

$\displaystyle \operatorname{grad} U$ $\displaystyle = \partial_\varrho \Phi \vec{e}_\varrho + \frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Phi \vec{e}_\varphi + \partial_z \Phi \vec{e}_z\,,$    
$\displaystyle \Delta U$ $\displaystyle = \frac{1}{\varrho}\partial_\varrho(\varrho \partial_\varrho \Phi) + \frac{1}{\varrho^2}\partial_\varphi^2 \Phi + \partial_z^2\Phi\,,$    
$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}$ $\displaystyle = \frac{1}{\varrho} \partial_\varrho (\varrho\Psi_\varrho) + \frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Psi_\varphi + \partial_z \Psi_z\,,$    
$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{F}$ $\displaystyle = \left(\frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Psi_z-\partial_z \Psi_...
...\varrho(\varrho\Psi_\varphi) - \partial_\varphi \Psi_\varrho\right)\vec{e}_z\,.$    


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013