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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Greensche Matrix eines Randwertproblems

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Die Greensche Matrix $ G$ des linearen Randwertproblems

\begin{displaymath} \begin{array}{l} u^\prime = A(t) u,\quad t_0\le t\le t_1, \\ R_0 u(t_0) + R_1 u(t_1) = d \end{array}\end{displaymath}

ist durch folgende Bedingungen charakterisiert. Als Funktion von $ t$ ist $ G(t,s)$ für $ t\ne s$ eine Lösung des homogenen Randwertproblems mit einem Sprung für $ t=s$:

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial{ G}(t,s)}{\pa... ...G}(t_1,s) = 0 \\ { G}(s^+,s) = { G}(s^-,s) + E \,, \end{array}\end{displaymath}

mit der Einheitsmatrix $ E$.

Die Greensche Matrix kann mit Hilfe einer Fundamentalmatrix $ \Gamma$ für $ u^\prime = A(t)u$ konstruiert werden. Es gilt

\begin{displaymath} G(t,s) = \begin{cases} \Gamma(t) G_-(s),& \text{$t<s$} \\ \Gamma(t) G_+(s),& \text{$t>s$,} \end{cases}\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} G_-(s) &=& -W^{-1} R_1 \Gamma(t_1) \Gamma... ...\ G_+(s) &=& W^{-1} R_0 \Gamma(t_0) \Gamma(s)^{-1} \end{array}\end{displaymath}

und $ W = R_0\Gamma(t_0) + R_1\Gamma(t_1)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013