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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Greensche Matrix eines Randwertproblems


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Die Greensche Matrix $ G$ des linearen Randwertproblems

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
u^\prime = A(t) u,\quad t_0\le t\le t_1, \\
R_0 u(t_0) + R_1 u(t_1) = d
\end{array}\end{displaymath}

ist durch folgende Bedingungen charakterisiert. Als Funktion von $ t$ ist $ G(t,s)$ für $ t\ne s$ eine Lösung des homogenen Randwertproblems mit einem Sprung für $ t=s$:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial{ G}(t,s)}{\pa...
...G}(t_1,s) = 0 \\
{ G}(s^+,s) = { G}(s^-,s) + E
\,,
\end{array}\end{displaymath}

mit der Einheitsmatrix $ E$.

Die Greensche Matrix kann mit Hilfe einer Fundamentalmatrix $ \Gamma$ für $ u^\prime = A(t)u$ konstruiert werden. Es gilt

\begin{displaymath}
G(t,s) =
\begin{cases}
\Gamma(t) G_-(s),& \text{$t<s$} \\
\Gamma(t) G_+(s),& \text{$t>s$,}
\end{cases}\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
G_-(s) &=& -W^{-1} R_1 \Gamma(t_1) \Gamma...
...\
G_+(s) &=& W^{-1} R_0 \Gamma(t_0) \Gamma(s)^{-1}
\end{array}\end{displaymath}

und $ W = R_0\Gamma(t_0) + R_1\Gamma(t_1)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013