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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime} + p u^\prime + q u = f $

kann mit dem Ansatz

$\displaystyle u_p(t) = a(t) v(t) + b(t) w(t) $

gelöst werden, wobei $ v$ und $ w$ linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialgleichung ($ f=0$) sind. Für die Anfangsbedingungen $ u_p(t_0)=u^\prime_p(t_0)=0$ erhält man

$\displaystyle u_p(t)=\int_{t_0}^t\frac{v(s)w(t)-w(s)v(t)}{v(s)w^\prime(s)-w(s)v^\prime(s)} f(s)\,ds \ . $

Die allgemeine Lösung ist

$\displaystyle u(t)=u_p(t)+c_1v(t)+c_2w(t)\ . $

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013