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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Konstruktion eines Vektorpotentials

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Für ein quellenfreies, stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F}$ lässt sich durch

$\displaystyle \vec{A}(x,y,z) =\left( \begin{array}{c} 0\\ \int\limits_{x_0}^x ... ...\zeta)\, d\zeta\\ -\int\limits_{x_0}^x F_y(\xi,y,z)\, d\xi \end{array}\right) $

ein Vektorpotential definieren, wenn die Integranden an den entsprechenden Punkten definiert sind. Dies ist zum Beispiel der Fall für einen Elementarbereich der Form

\begin{displaymath} \begin{array}{rcccl} b_1 &<& y &<& b_2\\ c_1(y) &<& z_0,\, ... ... c_2(y)\\ a_1(y,z) &<& x_0,\,x &<& a_2(y,z)\\ \end{array}\,. \end{displaymath}

Analoge Formeln erhält man durch zyklisches Vertauschen der Variablen.
Für

$\displaystyle \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 0\\ \int\limits_{x_0}^x F_z(\xi... ...\zeta)\, d\zeta\\ -\int\limits_{x_0}^x F_y(\xi,y,z)\, d\xi \end{array}\right) $

ist

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \begin{array}{c} -\partial_y... ...rtial_x \int\limits_{z_0}^z F_x(x_0,y,\zeta)\, d\zeta\\ \end{array}\right)\,. $

Da $ \vec{F}$ stetig differenzierbar ist, können das Differenzieren und Integrieren vertauscht werden, und es ergibt sich

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \begin{array}{c} -\int\limit... ...z)\, d\xi + F_x(x_0,y,z) \\ F_y(x,y,z)\\ F_z(x,y,z)\\ \end{array}\right)\,. $

Da $ \vec{F}$ quellenfrei ist, gilt $ \partial_x F_x +\partial_y F_y +\partial_z F_z =0$. Die beiden Integrale im ersten Eintrag lassen sich also durch das Integral über $ \partial_xF_x$ ersetzen, und der letzte Summand hebt den Wert an der unteren Grenze auf.

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  automatisch erstellt am 9. 10. 2013