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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Integralsatz von Gauß

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Ist $ \vec{F}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen Bereich $ V$, der durch eine Fläche $ {S}$ mit nach außen orientiertem vektoriellem Flächenelement $ d\vec{S}$ berandet wird, so gilt

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV = \iint\limits_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} \,. $

Die Glattheitsvoraussetzungen an $ \vec{F}$ und $ S$ können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
Die Identität ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale. Danach gilt für $ \vec{F}=\sum F_\nu \vec{e}_\nu$

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \partial_\nu F_\nu\,dV = \iint\limits_{S} F_\nu n^\circ_\nu\,dS \,, $

und die Summation über $ \nu=1,2,3$ ergibt die Behauptung, da $ d\vec{S} = \vec{n}^\circ\,dS$ ist.
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  automatisch erstellt am 2. 10. 2013