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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Binomischer Satz

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Mit der binomischen Formel lassen sich Potenzen einer Summe von zwei Variablen berechnen. Für alle $ n \in \mathbb{N}_0$ gilt
$\displaystyle (a+b)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^n + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) a^{n-1}b ... ...^2 + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)ab^{n-1} + b^n$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)a^{n-k}b^k .$  

Insbesondere ist für $ n=2,3$
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2\,,$  
$\displaystyle (a+b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3+3a^2 b+3ab^2 + b^3\,.$  

Der binomische Lehrsatz kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Für $ n = 0$ und $ n = 1$ ist die Identität wegen

$\displaystyle \sum_{k=0}^0 \left( \begin{array}{c} 0 \\ k \end{array}\right)a^{... ...d \sum_{k=0}^1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array}\right)a^{1-k}b^k=a+b $

für beliebige $ a$ und $ b$ richtig.

Angenommen sie gelte für $ n$. Dann ist

$\displaystyle (a+b)^{n+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b) \, (a+b)^n = (a+b) \,\sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^k$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^... ...+ \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^{k+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}... ...n-1} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^{k+1} + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}... ...1}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right) a^{n-k+1}b^k + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left[ \left( \begin{array}{c} n \\ k \end... ...eft( \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)\right] a^{n+1-k}b^k + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \left( \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) a^{n+1-k}b^k$  

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007