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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fourier-Basis aus Exponentialfunktionen


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Die Exponentialfunktionen $ e_k(x) = e^{\mathrm{i}kx}$ sind im Raum der $ 2\pi$-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen orthonormal:

$\displaystyle \langle e_j,e_k \rangle_{2\pi} =
\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
e_j(x)\overline{e_k(x)}\,dx = \delta_{j,k}
$

für $ j,k\in\mathbb{Z}$.
Für $ j=k$ erhält man

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
e^{\mathrm{i}jx}\overline{e...
...}jx}e^{-\mathrm{i}jx} \,dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
\,dx = 1\,,
$

und für $ j\neq k$ gilt

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
e^{\mathrm{i}jx}\overline{e...
... \left[
\frac{e^{\mathrm{i}(j-k)x}}{\mathrm{i}(j-k)}\right]_{-\pi}^\pi =0\,.
$


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  automatisch erstellt am 7. 11. 2013