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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fourier-Projektion

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Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion $ f$,

$\displaystyle p_n f = \sum_{\vert k\vert\le n} c_k\,e_k,\quad c_k = \langle f,e... ...le_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\, dt\,, $

ist die beste Approximation zu $ f$ in der durch das Skalarprodukt $ \langle \cdot,\cdot \rangle_{2\pi}$ induzierten Norm $ \Vert\cdot\Vert _{2\pi}$, d.h.

$\displaystyle \Vert f-p_n f\Vert _{2\pi} =\min_{q_n=\sum\limits_{\vert k\vert\le n} d_k e_k} \Vert f-q_n\Vert _{2\pi}\,. $

Darüber hinaus gilt $ \Vert p_nf\Vert _{2\pi} \le \Vert f\Vert _{2\pi}$.

Man bemerkt zunächst, dass

$\displaystyle \langle f-p_n f,e_j \rangle_{2\pi} = 0,\quad \vert j\vert\le n \,. $

Dies folgt unmittelbar aus der Orthonormalität der Fourier-Basis $ e_k$, denn

$\displaystyle \langle p_n f,e_j \rangle_{2\pi} = \sum_{\vert k\vert\le n} c_k \... ...pi} = \sum_{\vert k\vert\le n} c_k\delta_{k,j} =c_j,\quad \vert j\vert\le n\,. $

Für eine andere Approximation $ q = \sum_{\vert k\vert\le n}d_k\,e_k$ gilt dann

$\displaystyle \Vert f-q\Vert _{2\pi}^2$ $\displaystyle = \Vert f-p_n f + p_n f -q\Vert _{2\pi}^2$    
  $\displaystyle = \Vert f-p_n f\Vert _{2\pi}^2 + \langle f-p_n f ,\underbrace{p_n... ...rt\le n}(c_k-d_k)e_k} , f-p_n f \rangle_{2\pi} + \Vert p_n f - q\Vert _{2\pi}^2$    
  $\displaystyle = \Vert f-p_n f\Vert _{2\pi}^2 + \Vert p_n f - q\Vert _{2\pi}^2 \,,$    

d.h. der Fehler der Fourier-Projektion $ p_n f$ ist minimal.

Nach dem Satz des Pythagoras ist

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \Vert f -p_nf\Vert _{2\pi}^2 + \Vert p_nf\Vert _{2\pi}^2 $

und daher $ \Vert p_nf\Vert _{2\pi} \le \Vert f\Vert _{2\pi}$.
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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013