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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Konvergenz im Mittel bei Fourier-Reihen

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Für eine quadratintegrierbare Funktion $ f$ konvergiert die Fourier-Reihe

$\displaystyle \sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k\,e_k,\quad e_k(x) = e^{\mathrm{i}kx},\q... ...e_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\, dt \,, $

in der Norm $ \Vert\cdot\Vert _{2\pi}$, d.h. für die Partialsummen gilt

$\displaystyle \Vert f - p_n f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \vert f(x) - (p_n f)(x)\vert^2\,dx \to 0 $

für $ n\to\infty$.
Der Beweis gliedert sich in mehrere Teilschritte.

(i) Zunächst wird die Konvergenz für glatte $ 2\pi$-periodische Funktionen $ g$ analysiert. Dazu wird von der Darstellung der Fourier-Projektion mit Hilfe des Dirichlet-Kerns

$\displaystyle q_n(\xi) = \frac{\sin\left((n+1/2)\xi\right)}{\sin(\xi/2)} $

ausgegangen:

$\displaystyle (p_n g)(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi q_n(x-t)g(t)\,dt \,. $

Substituiert man $ s= x-t$ und nutzt aus, dass $ \int_{-\pi}^\pi q_n = 2\pi$, so folgt

$\displaystyle g(x) - (p_ng)(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \sin((n+1/2)s) h(x,s)\,ds,\quad h(x,s) = \frac{g(x)-g(x-s)}{\sin(s/2)} \,. $

Mit der Regel von l'Hospital lässt sich nachrechnen, dass $ h$ für zweimal stetig differenzierbares $ g$ mindestens einmal stetig differenzierbar ist. Folglich kann man den Fehler der Fourier-Projektion nach partieller Integration durch

$\displaystyle \left\vert g(x) - (p_ng)(x)\right\vert$ $\displaystyle = \left\vert\left[-\frac{\cos((n+1/2)s)}{2\pi(n+1/2)}h(x,s)\right... ...pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\cos((n+1/2)s)}{n+1/2} h_s(x,s)\,ds \right\vert$    
  $\displaystyle \leq \frac{1}{\pi n}\max_{x,s} \vert h(x,s)\vert+ \frac{1}{n} \max_{x,s}\left\vert h_s(x,s)\right\vert \to 0,\quad n\to \infty$    

abschätzen.

(ii) Um die Konvergenz auch für eine beliebige periodische quadratintegrierbare Funktion $ f$ zu zeigen, verwendet man die Eigenschaft, dass $ f$ durch eine Folge glatter periodischer Funktionen $ g_m$ approximiert werden kann:

$\displaystyle \Vert f - g_m\Vert _{2\pi}\to 0,\quad m\to\infty \,. $

Man zerlegt den Fehler $ f - p_n f$ der Fourier-Projektion in der Form

$\displaystyle (f - g_m) + (g_m - p_n g_m) + (p_n(g_m-f)) $

und schätzt die Norm der drei Summanden folgendermaßen ab. Für ein vorgebenes $ \varepsilon>0$ wählt man $ m$ so, dass

$\displaystyle \Vert f - g_m\Vert _{2\pi} \le \varepsilon/3 \,. $

Da die Fourier-Projektion die Norm einer Funktion nicht vergrößert, lässt sich die Norm des letzten Summanden ebenfalls durch $ \varepsilon/3$ abschätzen. Schließlich kann nun aufgrund der bereits bewiesenen Konvergenz für die glatte Funktion $ g_m$ ein $ n_\varepsilon$ bestimmt werden, so dass

$\displaystyle \Vert g_m - p_n g_m\Vert _{2\pi} < \varepsilon/3 $

für $ n>n_\varepsilon$.
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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013