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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Trigonometrische Interpolation


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Für $ n=2^\ell$ können die Koeffzienten des trigonometrischen Polynoms

$\displaystyle p(x) = c_m \cos(mx) +
\sum_{\vert k\vert<m} c_k e^{\mathrm{i}kx},\quad m=n/2
\,,
$

das die Daten

$\displaystyle f_j = f(x_j),\quad x_j = 2\pi j/n,\,
j=0,\ldots,n-1
\,,
$

interpoliert, mit der inversen schnellen Fourier-Transformation berechnet werden:

$\displaystyle (c_0,\ldots,c_m,c_{-m+1},\ldots,c_{-1}) =
\operatorname{IFFT}(f)
\,.
$


Die etwas ungewohnte Form des trigonometrischen Polynoms mit dem zusätzlichen Kosinus-Term ist notwendig, da die Anzahl der Daten für die Anwendung der schnellen Fourier-Transformation gerade sein muss.

Setzt man

$\displaystyle \tilde{c} = (c_0,\ldots,c_m,c_{-m+1},\ldots,c_{-1})
\,,
$

so gilt mit der Fourier-Matrix $ W$

$\displaystyle \tilde{c} = \frac{1}{n} W_n^\ast f
\Leftrightarrow
f = W_n \tilde{c}
\,,
$

wobei $ \tilde{c}$ und $ f$ von 0 bis $ n-1$ indiziert werden. Letztere Identität bedeutet, dass

$\displaystyle f_j = \tilde p(x_j) = \sum_{k=0}^{n-1} \tilde c_k
e^{\mathrm{i}kx_j}
\,,
$

d.h. das trigonometrische Polynom $ \tilde p$ erfüllt die Interpolationsbedingungen. Es bleibt zu zeigen, dass sich die entsprechenden Terme bei $ \tilde p$ und $ p$ ( $ \tilde c_k = c_{k-n}$, $ k=m+1,\ldots,n-1$) ersetzen lassen, ohne dass sich die Werte an den Punkten $ x_j$ verändern. Es muss also geprüft werden, ob

$\displaystyle \cos(mx_j) = \exp(\mathrm{i}mx_j),\quad
\exp(\mathrm{i}kx_j) = \exp(\mathrm{i}(k-n)x_j)
\,.
$

Dies folgt aber unmittelbar aus

$\displaystyle mx_j = \pi j,\quad -nx_j = -2\pi j
\,.
$


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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013