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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fourier-Transformation

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Existiert zu einer Funktion $ f$ das Parameterintegral

$\displaystyle \hat{f}(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}yx}\,dx $

für alle $ y\in\mathbb{R}$, so heißt $ f$ Fourier-transformierbar und die Funktion $ \hat{f}$ Fourier-Transformierte von $ f$. Man schreibt

$\displaystyle \hat{f} = {\cal F} f \,,\quad \textrm{ bzw. } \quad f(x) \quad\overset{\cal F }{\longmapsto}\quad \hat{f}(y)\,. $

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation $ {\cal F}^{-1}$ durch

$\displaystyle \hat{f}(y)\quad \overset{{\cal F}^{-1}}{\longmapsto} \quad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(y)e^{\mathrm{i}yx}\,dy\,, $

definiert und es gilt

$\displaystyle f={\cal F}^{-1}{\cal F}f $

für absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen $ f$.

Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist

$\displaystyle {\cal F} \bar{f} = 2\pi \overline{{\cal F}^{-1} f}\,. $

Man kann die inverse Fourier-Transformation als kontinuierliche Entwicklung nach den Exponentialfunktionen $ e_k(x)=e^{\mathrm{i}kx}$ interpretieren. Nimmt man an, dass $ f$ außerhalb eines Intervalles $ [-h,h]$ null ist, so gilt

$\displaystyle f(x) = \sum_{k=-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2h} \int\limits_{-h}^h f(t) \overline{e_k(t \pi/h)}\,dt \right] e_k(x \pi/h) $

für $ x\in[-h,h]$. Nach Definition von $ \hat{f}$ gilt somit

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi}\frac{\pi}{h} \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k\pi/h) e^{\mathrm{i}(k\pi/h)x} \,. $

Diese Riemann-Summe ist eine Approximation der inversen Fourier-Transformation und konvergiert bei hinreichend glattem $ \hat{f}$ für $ \Delta y=\pi/h\to 0$.

Aufgrund der obigen Überlegungen kann die Fourier-Transformation in gewissem Sinn als Grenzfall der Fourier-Reihe interpretiert werden. Ein rigoroser Beweis der Umkehrformel ist allerdings wesentlich aufwendiger.

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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013