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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Differentiation und Fourier-Transformation

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Die Ableitung entspricht einer Multiplikation mit der transformierten Variablen und umgekehrt:
$\displaystyle f'(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \mathrm{i}y\hat{f}(y)$  
$\displaystyle xf(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) \,.$  

Für Funktionen $ f$ mit kompaktem Träger, bzw. falls $ f$ und $ f'$ genügend schnell abfallen, treten bei der partiellen Integration über $ \mathbb{R}$ keine Randterme auf. Somit folgt

$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f'(x)e^{-\mathrm{i... ...e^{-\mathrm{i}yx}}_{-\mathrm{i}ye^{-\mathrm{i}yx}} \,dx= \mathrm{i}y\hat{f}(y) $

und

$\displaystyle \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) = \mathrm{i}\int\limits_{-\infty}^\infty ... ...\limits_{-\infty}^\infty f(x) (-\mathrm{i}x)e^{-\mathrm{i}yx}\,dx = \hat{g}(y) $

mit $ g(x)=xf(x)$. Die oben genannten Voraussetzungen können abgeschwächt werden; dies erfordert jedoch Hilfsmittel der Funktionalanalysis.
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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013