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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Verschiebung und Fourier-Transformation


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Eine Verschiebung der Variablen entspricht nach Fourier-Transformation bzw. Rücktransformation einer Multiplikation mit einer Exponentialfunktion:
$\displaystyle f(x-a)
\quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad
\exp(-\mathrm{i}ay) \hat{f}(y)$  
$\displaystyle \exp(\mathrm{i}ax) f(x)
\quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad
\hat{f}(y-a)
\,.$  


Mit $ g(x)=f(x-a)$ und $ \tilde{x}=x-a$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-a)e^{-\mathrm{i}yx}\,...
...ilde{x})e^{-\mathrm{i}y\tilde{x}}\,d\tilde{x} =
e^{-\mathrm{i}ya}\hat{f}(y)\,,
$

und für $ h(x)=e^{\mathrm{i}ax}f(x)$ erhält man

$\displaystyle \hat{h}(y)=
\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}(y-a)}x\,dx =
\hat{f}(y-a)\,.
$


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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013