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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Satz von Plancherel

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Bis auf einen Normierungsfaktor lässt die Fourier-Transformation das Skalarprodukt und damit auch die Norm auf $ L^2(\mathbb{R})$ invariant:

$\displaystyle 2\pi\langle f,g\rangle = \langle \hat{f}, \hat{g} \rangle,\quad \sqrt{2\pi}\Vert f\Vert = \Vert\hat{f}\Vert \,. $

Aufgrund dieser Eigenschaft lässt sich die Fourier-Transformation auf $ L^2(\mathbb{R})$ durch einen Grenzprozess definieren. Für eine quadratintegrierbare Funktion $ f$ wählt man eine approximierende Folge glatter Funktionen $ f_n$ mit kompaktem Träger ( $ \Vert f-f_n\Vert\to 0$) und definiert

$\displaystyle \hat{f} = \lim_{n\to\infty} \hat{f}_n \,. $

Formal lässt sich die Identität für das Skalarprodukt herleiten, indem man $ f$ als die inverse Fourier-Transformation einer Funktion $ h$ wählt. Dann ist die linke Seite gleich

$\displaystyle 2\pi \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,dx = \int\... ...y \int\limits_{-\infty}^\infty h(y)\overline{g(x)}e^{\mathrm{i}yx}\,dy\,dx \,. $

Integriert man zuerst über $ x$, so erhält man

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty h(y) \underbrace{\int\limits_{-\inft... ...x}\,dx}}\,dy = \int\limits_{-\infty}^\infty h(y) \overline{\hat{g}(y)}\,dy \,, $

also $ \langle h,\hat{g}\rangle$, wie behauptet.
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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013