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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Poisson-Summationsformel

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Sind $ f$ und $ \hat{f}$ stetig und quadratintegrierbar, so gilt

$\displaystyle \sum_{j\in\mathbb{Z}} f(j) = \sum_{l\in\mathbb{Z}} \hat{f}(2\pi l) \,. $

Aufgrund des Satzes von Plancherel genügt es, glatte Funktionen $ \hat{f}$ mit kompaktem Träger zu betrachten, so dass die Konvergenz von Summen und Integralen unproblematisch ist. Die linke Seite der Identität ist dann gleich

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \sum_j \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(y) e^{\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Man schreibt nun das Integral über $ \mathbb{R}$ als Summe von Integralen über Periodizitätsintervalle,

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \ldots = \sum_l \int\limits_{2\pi l-\pi}^{2\pi l+\pi} \ldots \,, $

und erhält den Ausdruck

$\displaystyle \sum_j \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left[ \sum_l \hat{f}(y+2\pi l) \right] e^{\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Die Summe in eckigen Klammern ist eine $ 2\pi$-periodische Funktion $ g(y)$. Der obige Ausdruck entspricht also der Summe der Fourier-Koeffizienten $ c_{-j}$ von $ g$ und ist somit gleich

$\displaystyle \sum_j c_j e^{\mathrm{i}jy}\Big\vert _{y=0} = g(0) = \sum_l \hat{f}(2\pi l) \,. $

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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013