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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Greensche Integralformeln

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Bezeichnet $ n$ die nach außen gerichtete Einheitsnormale eines regulären Bereichs $ V \subseteq \mathbb{R}^m$ mit regulärer Randfläche $ S = \partial V$, so gilt für zweimal stetig differenzierbare Funktionen $ f$ und $ g$

$\displaystyle \int\limits_S f \,\frac{\partial g}{ \partial n} = \int\limits_V ... ...e{grad} f \right)^{\operatorname{t}}\ \operatorname{grad} g + f \,\Delta g \,. $

wobei $ \frac{\partial g}{\partial n}$ die Ableitung in Richtung der nach außen zeigenden Normalen ist.
Insbesondere folgt für $ f=1$

$\displaystyle \int\limits_S \frac{\partial g}{ \partial n} = \int\limits_V \Delta g\,. $

Eine symmetrische Variante der auf Green zurückgehenden Identität ist

$\displaystyle \int\limits_S f \frac{\partial g}{\partial n} - g\frac{\partial f}{\partial n} = \int\limits_V f \Delta g - g \Delta f\,. $

Bei beiden Greenschen Formeln können die Glattheitsvoraussetzungen abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013