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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchysches Theorem

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Ist $ f$ bis auf endlich viele schwache Singularitäten analytisch in einem Gebiet $ D$, dann gilt

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz = 0 $

für jede geschlossene Kurve $ C$, die in $ D$ zu einem Punkt homotop ist.

Zur Illustration der Beweisidee wird angenommen, dass die Kurve $ C$ ein Rechteck $ R$ in $ D$ berandet und $ f$ analytisch ist.

Im Folgenden wird die Abkürzung

$\displaystyle s(R)=\int\limits_{\partial R} f\,dz $

für das Integral über den entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand eines Rechtecks verwendet.
\includegraphics[width=.3\linewidth]{e_cauchy}
Das Rechteck $ R$ wird nun in vier kongruente Rechtecke $ R'$, $ R''$, $ R'''$ und $ R''''$ aufgeteilt, und es folgt

$\displaystyle s(R)=s(R')+s(R'')+s(R''')+s(R'''')\,, $

da sich die Integrale auf den mehrfach durchlaufenen Wegstücken aufheben. Es ist klar, dass für mindestens eines dieser Teil-Rechtecke (im Folgenden mit $ R_1$ bezeichnet)

$\displaystyle \vert s(R_1)\vert\ge \frac{1}{4}\vert s(R)\vert $

gilt. Iteriert man diesen Prozess, so erhält man eine Folge

$\displaystyle R=R_0\supset R_1\supset R_2 \supset \cdots \supset R_j\supset\cdots $

mit

$\displaystyle \vert s(R_j)\vert\ge\frac{1}{4}\vert s(R_{j-1})\vert\ge \dots \ge 4^{-j}\vert s(R_0)\vert\,. $

Die Folge dieser Rechtecke $ R_j$ konvergiert gegen einen Punkt $ z_\star$, d.h.

$\displaystyle \forall\delta>0\quad\exists j(\delta):\quad R_j\subset \{z: \vert z-z_\star\vert < \delta\}$   für $\displaystyle j>j(\delta)\,. $

Da $ f$ komplex differenzierbar ist, gilt weiter

$\displaystyle \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta(\varepsilon):\quad \vert f(z)-f(z_\star)-f'(z_\star)(z-z_\star)\vert < \varepsilon\vert z-z_\star\vert$   für $\displaystyle \quad\vert z-z_\star\vert<\delta\,. $

Mit Hilfe von

$\displaystyle \int\limits_{\partial R_j}f(z_\star)\,dz = \int\limits_{\partial R_j}f'(z_\star)(z-z_\star)\,dz=0 $

erhält man für $ j>j(\delta(\varepsilon))$

$\displaystyle \vert s(R_j)\vert = \left\vert\,\int\limits_{\partial R_j}f(z)-f(... ...n\int\limits_{\partial R_j}\vert z-z_\star\vert\,dz\le \varepsilon d_j L_j \,, $

wobei $ d_j$ die Länge der Diagonale und $ L_j$ die Länge des Randes von $ R_j$ bezeichnet. Für das ursprüngliche Integral folgt damit

$\displaystyle \vert s(R_0)\vert\le 4^j\vert s(R_j)\vert \le \varepsilon 4^jd_j L_j =\varepsilon d_0 L_0\,, $

und da $ \varepsilon$ beliebig gewählt war,

$\displaystyle \vert s(R)\vert=0\,. $

Der allgemeine Fall erfordert noch einige zusätzliche Überlegungen, bei denen insbesondere die topologische Form des Gebietes $ D$ berücksichtigt werden muss.

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013