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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchysche Integralformel

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Ist $ f$ analytisch in einem Gebiet $ D$ und $ C$ ein geschlossener Weg, der in $ D$ zu einem Punkt homotop ist, dann gilt

$\displaystyle n(C,z)\,f(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw, \quad z\in D \,, $

wobei $ n(C,z)$ die Umlaufzahl von $ C$ bezüglich $ z$ ist.

Insbesondere gilt die Formel mit $ n(C,z)=1$ für einen entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis um $ z$.

Die Funktion

$\displaystyle g(w) = \frac{f(w)-f(z)}{w-z} $

hat lediglich eine schwache Singularität bei $ w=z$:

$\displaystyle \lim_{w\to z}(w-z)g(w) = 0 $

wegen der Stetigkeit von $ f$. Nach Cauchys Theorem ist somit $ \int_C g\,dw = 0$. Es folgt also

$\displaystyle \int\limits_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw = \int\limits_C \frac{f(z)}{w-z}\,dw = 2\pi\mathrm{i}\, n(C,z)f(z) \,, $

wie behauptet.

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013